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手册 · 第 5 章

三角学

三角恒等式与特殊角的值、单位圆、正弦定理与余弦定理、二倍角、半角与和角公式，以及三角函数的图像。

原书第 113–123 页 · 18 个条目

5.1 三角比

定理 5.1.1 · 三角比

在含锐角 aa 的直角三角形中：

正弦：sin⁡(a)=对边斜边\text{正弦：} \sin(a) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
余弦：cos⁡(a)=邻边斜边\text{余弦：} \cos(a) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
正切：tan⁡(a)=对边邻边=sin⁡(a)cos⁡(a)\text{正切：} \tan(a) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}

去学习:定理 42.1.1 · 三角比

原书第 113 页已数值验证

注 5.1.2

要记住这些关系，用英文口诀 SOH, CAH, TOA 就行：

  • SOH = Sin 是 Opposite（对边）比 Hypotenuse（斜边）
  • CAH = Cos 是 Adjacent（邻边）比 Hypotenuse（斜边）
  • TOA = Tan 是 Opposite（对边）比 Adjacent（邻边）

去学习:注 42.1.2

原书第 114 页

5.2 更多三角比

定理 5.2.1 · 更多三角比

余割：csc⁡(a)=斜边对边=1sin⁡(a)\text{余割：} \csc(a) = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\sin(a)}
正割：sec⁡(a)=斜边邻边=1cos⁡(a)\text{正割：} \sec(a) = \frac{\text{斜边}}{\text{邻边}} = \frac{1}{\cos(a)}
余切：cot⁡(a)=邻边对边=1tan⁡(a)=cos⁡(a)sin⁡(a)\text{余切：} \cot(a) = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan(a)} = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}

去学习:定理 42.2.1 · 更多三角比

原书第 114 页已数值验证

5.3 特殊角的三角函数值

原书中的特殊角三角函数值表（没有编号）。90∘90^\circ 到 180∘180^\circ 的值可以由 90∘90^\circ 以下的值得到：sin⁡(180∘−a)=sin⁡a\sin(180^\circ - a) = \sin a，cos⁡(180∘−a)=−cos⁡a\cos(180^\circ - a) = -\cos a。

aa cos⁡a\cos a sin⁡a\sin a
0∘0^\circ 11 00
15∘15^\circ 3+122\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2} 3−122\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}
30∘30^\circ 32\frac{\sqrt3}{2} 12\frac12
45∘45^\circ 22\frac{\sqrt2}{2} 22\frac{\sqrt2}{2}
60∘60^\circ 12\frac12 32\frac{\sqrt3}{2}
75∘75^\circ 3−122\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2} 3+122\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}
90∘90^\circ 00 11
120∘120^\circ −12-\frac12 32\frac{\sqrt3}{2}
135∘135^\circ −22-\frac{\sqrt2}{2} 22\frac{\sqrt2}{2}
150∘150^\circ −32-\frac{\sqrt3}{2} 12\frac12
180∘180^\circ −1-1 00

更正。 原书印的是 cos⁡180∘=1\cos 180^\circ = 1；实际上是 −1-1（单位圆上的点 (−1,0)(-1, 0)）。原书还把 cos⁡0∘=1\cos 0^\circ = 1、sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0 这一行印了两次，并把最后一个正弦标成 sin⁡0∘\sin 0^\circ，而不是 sin⁡180∘\sin 180^\circ；本表每个角只列一次。

5.4 单位圆恒等式

定理 5.4.1 · 单位圆恒等式

sin⁡(−a)=−sin⁡(a)\sin(-a) = -\sin(a)
sin⁡(a)=sin⁡(180∘−a)\sin(a) = \sin(180^\circ - a)
cos⁡(a)=cos⁡(−a)\cos(a) = \cos(-a)
cos⁡(a)=−cos⁡(180∘−a)\cos(a) = -\cos(180^\circ - a)
tan⁡(a)=−tan⁡(180∘−a)\tan(a) = -\tan(180^\circ - a)
tan⁡(−a)=−tan⁡(a)\tan(-a) = -\tan(a)

去学习:定理 42.4.1 · 单位圆恒等式第 42.3 节 特殊角与单位圆

原书第 116 页已数值验证

5.5 用三角函数求三角形的面积

定理 5.5.1 · 用三角函数求三角形的面积

在三边长为 aa、bb、cc 的三角形中，记边 aa 与边 bb 的夹角为 CC，则

三角形的面积=12⋅ab⋅sin⁡(C)\text{三角形的面积} = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C)

去学习:定理 43.1.1 · 用三角函数求三角形的面积

原书第 117 页已数值验证

5.6 正弦定理

定理 5.6.1 · 正弦定理

在三边为 aa、bb、cc，三个角为 AA、BB、CC 的三角形中，边 aa 对角 AA，边 bb 对角 BB，边 cc 对角 CC，则

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

其中 RR 是三角形的外接圆半径。

去学习:定理 43.2.1 · 正弦定理

原书第 117 页已数值验证

5.7 余弦定理

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定理 5.7.1 · 余弦定理

在三边长为 aa、bb、cc 的三角形中，记边 aa 与边 bb 的夹角为 CC，则

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C

去学习:定理 43.3.1 · 余弦定理

原书第 118 页已数值验证

5.8 平方关系

定理 5.8.1 · 平方关系

sin⁡2(a)+cos⁡2(a)=1\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1
tan⁡2(a)+1=sec⁡2(a)\tan^2(a) + 1 = \sec^2(a)
cot⁡2(a)+1=csc⁡2(a)\cot^2(a) + 1 = \csc^2(a)

a = 40°：P = (cos a, sin a) = (0.766, 0.6428)；tan a = 0.8391。 正切线段 0.8391，正割线段 1.3054。

角 a40°
a=40∘a = 40^\circ
P=(cos⁡a, sin⁡a)P=(\cos a,\ \sin a)
ff(40°)
cos a0.7660.766
sin a0.64280.6428
tan a0.83910.8391

a = 40°：P = (cos a, sin a) = (0.766, 0.6428)；tan a = 0.8391。 正切线段 0.8391，正割线段 1.3054。

去学习:定理 42.5.1 · 平方关系

原书第 119 页已数值验证

5.9 二倍角公式

定理 5.9.1 · 二倍角公式

sin⁡(2a)=2sin⁡(a)cos⁡(a)\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)
cos⁡(2a)=cos⁡2(a)−sin⁡2(a)=2cos⁡2(a)−1=1−2sin⁡2(a)\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)
tan⁡(2a)=2tan⁡(a)1−tan⁡2(a)\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}

去学习:定理 42.6.1 · 二倍角公式

原书第 119 页已数值验证

5.10 和角与差角公式

定理 5.10.1 · 和角与差角公式

sin⁡(a+b)=sin⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(b)cos⁡(a)\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)
sin⁡(a−b)=sin⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(b)cos⁡(a)\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \sin(b)\cos(a)
cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)
tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}
tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}

去学习:定理 42.7.1 · 和角与差角公式

原书第 120 页已数值验证

5.11 半角公式

定理 5.11.1 · 半角公式

sin⁡(a2)=±1−cos⁡(a)2\sin\left(\frac a2\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}
cos⁡(a2)=±1+cos⁡(a)2\cos\left(\frac a2\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(a)}{2}}

符号就是 sin⁡a2\sin\frac a2（或 cos⁡a2\cos\frac a2）的符号：看 a2\frac a2 在哪个象限。

去学习:定理 42.8.1 · 半角公式

原书第 121 页已数值验证

5.12 和差化积公式

定理 5.12.1 · 和差化积公式

sin⁡(a)+sin⁡(b)=2sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2)\sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)
sin⁡(a)−sin⁡(b)=2sin⁡(a−b2)cos⁡(a+b2)\sin(a) - \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
cos⁡(a)+cos⁡(b)=2cos⁡(a−b2)cos⁡(a+b2)\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
cos⁡(a)−cos⁡(b)=−2sin⁡(a−b2)sin⁡(a+b2)\cos(a) - \cos(b) = -2\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)

去学习:定理 42.9.1 · 和差化积公式

原书第 121 页已数值验证

5.13 积化和差公式

定理 5.13.1 · 积化和差公式

sin⁡(a)sin⁡(b)=12(cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b))\sin(a)\sin(b) = \frac12\left(\cos(a - b) - \cos(a + b)\right)
cos⁡(a)cos⁡(b)=12(cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b))\cos(a)\cos(b) = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)
sin⁡(a)cos⁡(b)=12(sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b))\sin(a)\cos(b) = \frac12\left(\sin(a + b) + \sin(a - b)\right)

去学习:定理 42.10.1 · 积化和差公式

原书第 122 页已数值验证

定义 5.13.2

周期函数是每隔固定的间隔就重复同一段 yy 值规律的函数。规律完整重复一次叫做一个循环。函数的周期就是一个完整循环的水平长度。

sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 的周期是 2π2\pi；tan⁡\tan 的周期是 π\pi。

更正

原书说 sin⁡\sin、cos⁡\cos 和 tan⁡\tan 的周期都是 2π2\pi。其实正切只隔 π\pi 就重复：tan⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x + \pi) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x。（原书还把所有周期函数都叫作“三角函数”；“周期函数”才是一般的叫法。）

去学习:定义 42.11.1 · 周期函数

原书第 122 页已数值验证

5.14 三角函数的周期与图像

概念 5.14.1 · 正弦曲线

y=sin⁡xy = \sin x 的图像是一条在 −1-1 和 11 之间起伏的波。它从 (0,0)(0, 0) 出发，在 x=π2x = \frac\pi2 处达到最高点，在 π\pi 的每个整数倍处穿过零，每隔 2π2\pi 重复一次。

sin x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

— f(x) = sin x
[−2π, 2π]: 5 个解

3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点

sin x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

去学习:概念 42.12.1 · 正弦曲线

原书第 122 页

概念 5.14.2 · 余弦曲线

y=cos⁡xy = \cos x 的图像就是正弦波向左平移 π2\frac\pi2：cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin\left(x + \frac\pi2\right)。它从最高点 (0,1)(0, 1) 出发，在 π2\frac\pi2 的奇数倍处穿过零，每隔 2π2\pi 重复一次。

cos x = 0 在 [−2π, 2π] 上：4 个解 (4 个穿越点，0 个相切点，0 个在闭端点).

— f(x) = cos x
[−2π, 2π]: 4 个解

4 个穿越点，0 个相切点，0 个在闭端点

cos x = 0 在 [−2π, 2π] 上：4 个解 (4 个穿越点，0 个相切点，0 个在闭端点).

去学习:概念 42.12.2 · 余弦曲线

原书第 122 页

概念 5.14.3 · 正切曲线

y=tan⁡xy = \tan x 的图像在 π\pi 的每个整数倍处穿过零，并在竖直渐近线 x=π2+kπx = \frac\pi2 + k\pi 处冲向 ±∞\pm\infty，那里 cos⁡x=0\cos x = 0。它每隔 π\pi 重复一次。

tan x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

— f(x) = tan x
[−2π, 2π]: 5 个解

3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点

tan x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

去学习:概念 42.12.3 · 正切曲线

原书第 122 页